У меня и у мамы по разному написана наша фамилия в загранпаспортах. В частности, разница в 1 букве Й. У нее она написана как i, а у меня как "y". Сейчас подаю документы на грин карту для мамы и думаю, как объяснить и доказать, что у нас одна и та же фамилия. Есть идеи? Подскажите.

У меня та же история, с той же буквой, но в имени...
В паспорте и визе "i", на их основании получила все доки и открыла счет в банке.
А гринка пришла с "у" и по ней сделали водительские права...
Так и живу.
И тоже думаю, как буду доказывать при получение гражданства, что это одно и тоже имя

_________________
"Мила мне русская беседа - в ней, разум собственный любя, никто не слушает соседа, а каждый слушает себя." © К.Чуковский

То, что она - ваша мама, доказывает не фамилия в паспорте, а свидетельство о рождении.

Ничего доказывать не надо. В анкете первым стоит вопрос - легальное имя, следующий - имя на гринкарте.
Дальше - хотите ли поменять имя, и на какое.

Правильно. Сделайте переводы с одинаковой фамилией, небольшое разночтение с паспортом допускается. Юскис и не такое видал.